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| Contenuti del corso |
Generalità sulle funzioni (ripasso). Grafico; funzioni monotòne, pari, dispari; funzioni elementari (valor assoluto, potenze, radici, esponenziali, logaritmiche). Varianti sul grafico di una funzione: dal grafico di f al grafico di: f(x+a), f(x)+a, af(x), |f(x)|, f(|x|).
Funzioni periodiche. Def. ed esempi. Def. di angolo (positivo, negativo). Misura in radianti di un angolo. Funzioni trigonometriche seno, coseno e tangente. Grafici e proprietà fondamentali.
Le coordinate cartesiane e le coordinate polari nel piano cartesiano.
Numeri complessi. Motivazione per l’introduzione dei numeri complessi. Forma algebrica, ed operazioni algebriche. Coniugato, modulo di un numero complesso. Forma trigonometrica. Prodotto di numeri complessi. Potenze. Forma esponenziale.
Funzioni reali di più variabili. Def. ed esempi. Rappresentazione grafica di funzioni di 2 variabili: grafico e curve di livello. Funzioni continue. Derivate parziali, gradiente. Direzione di massima crescita di una funzione di 2 variabili. Derivate parziali successive. Matrice hessiana.
Ottimizzazione delle funzioni di 2 variabili: massimi e/o minimi locali. Punti critici. Uso della matrice hessiana per la determinazione della natura dei punti critici. Applicazione: minimi quadrati.
Equazioni differenziali ordinarie e modelli matematici. Def. di eq. diff. ordinaria ed esempi. Problema di Cauchy. Teorema di esistenza e di unicità.
Modelli matematici: 1) dinamica di una popolazione isolata (modello di Malthus) e qualche sua modifica (modello di Verhulst)
2) dinamica di una popolazione non isolata
3) dinamica di due popolazioni interagenti in una regione isolata.
Osservazioni generali sulla costruzione di un modello matematico.
Metodi risolutivi per eq. diff. del primo ordine (variabili separabili, lineari a coeff. variabili), del secondo ordine (lineari a coeff. costanti) e di sistemi lineari a coeff. costanti.
Applicazione di questi metodi per la risoluzione e discussione dei problemi presentati in 1), 2) e 3).
Presentazione del modello 'integrate-and-fire' per la descrizione dell'attività neuronale. |
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Metodi Matematici per le Scienze Cognitive
