Logica e insiemistica. Proposizioni, predicati. Connettivi logici. Quantificatori.
Terminologia sugli insiemi: def. ed operazioni elementari sugli insiemi (inclusione, unione, intersezione, differenza, complementare, prodotto cartesiano). Naturali, interi, razionali. I numeri reali: proprietà ed algebra su R. Intervalli (aperti, chiusi, semi-chiusi, illimitati). Massimo e minimo.
Geometria analitica nel piano. Piano cartesiano, coordinate e distanza tra due punti. Rappr. grafica di sottoinsiemi di RxR. Rette (parallele, ortogonali). Pendenza. Parabole, circonferenze, ellissi ed iperbole.
Eq. e diseq. (una incognita) di 1^ e 2^ grado. Diseq. fratte. Risoluz. grafica di eq. e sistemi in due incognite.
Funzioni generiche. Def. di funzione. Dominio, condominio, immagine. Funz. reale di variabile reale. Funz. definita a tratti. Dal grafico di f al grafico di: f(ax), f(x+a), af(x), f(x)+a. Funz. costante, affine, quadratica. Funz. iniettiva, suriettiva, biettiva. Funz. inversa e suo grafico. Restrizione e composizione. Funz. potenza e radice. Calcolo con le potenze.
Funzioni reali di una variabile reale. Funz. limitate (estremi). Funz. pari, dispari, monotòne. Funz. valor assoluto, parte intera, funz. polinomiali e razionali fratte; esponenziali e logaritmiche. Dal grafico di f al grafico di: f(|x|), |f(x)|.
Funzioni continue e limiti. Limiti di funz. (finiti e infiniti) e proprietà. Unicità. Criterio del confronto. Operazioni coi limiti. Asintoti. Limiti notevoli per la funzione esponenziale e la funzione logaritmo. Continuità di una funzione in un punto. Punti di discontinuità. Continuità delle funz. elementari. Continuità della funz. somma, prodotto, quoziente, composizione e inversa.
Proprietà globali delle funzioni continue: Teorema dei valori intermedi (degli zeri) e il Teorema di Weierstrass.
Calcolo differenziale. Derivata di una funzione in un punto e proprietà delle funz. derivabili. Significato geometrico della derivata. Derivate delle funz. elementari. Punti angolosi, cuspidi e tangenti verticali. Algebra delle derivate.
Estremi locali (o relativi). Punti critici (o stazionari). Teoremi fondamentali: Teorema di Fermat (condizione per un punto estremo interno) e Teorema di Lagrange. Test di monotonia (crescenza e decrescenza di una funzione derivabile). Derivate seconde e successive. Convessità. Punti di flesso. Studio qualitativo del grafico di una funzione.
Approssimazione locale e globale. Formula di Taylor.
Integrazione. Integrale definito per funz. continue. Significato geometrico dell?integrale. Area. Linearità, additività e monotonia dell?integrale. Funz. integrale e il Teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive ed integrale indefinito. Teorema di Torricelli (applicazione in casi semplici). Integrale improprio (per funzioni continue e limitate su intervalli illimitati). L?integrale della funzione gaussiana su R.
Calcolo combinatorio. Permutazioni, disposizioni, combinazioni.
BIBLIOGRAFIA
TESTI consigliati per l'integrazione degli appunti del corso e/o per la preparazione (parte teorica) all'esame:
E. Acerbi e G. Buttazzo: Matematica preuniversitara di base, Pitagora Editrice, BO (2003):
Cap. 1; Cap. 2 (2.1; 2.2; 2.3; 2.5; 2.6; 2.7; 2.10); Cap. 3 (da 3.1 a 3.5; 3.7); Cap. 4.
E. Acerbi e G. Buttazzo: analisi matematica ABC 1.funzioni di una variabile, Pitagora Editrice, BO (2003)
Cap. 1 (1.1; 1.2; 1.3; 1.5); Cap. 2 (2.2; 2.4; 2.6; 2.7; 2.8);
Cap. 3 (3.1; 3.2; 3.3; da 3.5 a 3.8); Cap. 4 (da 4.1 a 4.5; 4.7); Cap. 5 (da 5.1 a 5.3).
Altri testi che possono essere consultati sono:
C.D. Pagani- S. Salsa: Matematica (per i Diplomi Universitari), Masson (1997).
V. Villani: Matematica per discipline bio-mediche, McGraw-Hill (2001).
Allo studente con notevoli carenze sugli argomenti di matematica di base posso consigliare i testi per le Scuole Superiori
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